IEEE 754の非正規化数（サブノーマル数）

非正規化数（サブノーマル数とも呼ばれる）は、ゼロ付近の極めて小さな数値を表現するIEEE 754浮動小数点値の特殊なカテゴリです。ゼロと最小の正規化数の間の突然のギャップの代わりに、段階的アンダーフローを提供するために存在します。

非正規化数の条件:

浮動小数点数は、バイアス付き指数フィールドがすべてゼロで仮数が非ゼロの場合に非正規化されます。正規化数とは異なり、非正規化数は暗黙の先頭ビットが1ではなく0です。

プロパティ	正規化	非正規化
指数ビット	1〜254（float32）	0
暗黙のビット	1	0
計算式	(-1)^s x 1.仮数 x 2^(指数-バイアス)	(-1)^s x 0.仮数 x 2^(1-バイアス)

最小のfloat32値:

• 最小正規化: 2^-126 ≈ 1.175e-38（指数=1、仮数=0）
• 最小非正規化: 2^-149 ≈ 1.401e-45（指数=0、最下位仮数ビット=1）

非正規化数がなければ、0から1.175e-38まで表現可能な値のないギャップが存在します。

段階的アンダーフロー:

値が小さくなる過程を考えてみましょう:

1. 正規化値は指数が最小（1）に達するまで縮小
2. さらなる縮小は仮数ビットを右にシフトし、精度を徐々に失う
3. 数値は非正規化になる — 精度がゼロに向かって滑らかに低下
4. すべての仮数ビットがゼロになると、値は正確にゼロになる

パフォーマンスに関する考慮事項:

一部のプロセッサ（特に古いx86 CPUと一部のARMコア）では、非正規化数の演算は正規化数よりも大幅に遅くなります（10〜100倍遅いことも）。これは「デノーマルペナルティ」と呼ばれます。一部のアプリケーションでは、段階的アンダーフローの損失を受け入れて、FTZ（flush-to-zero）フラグを設定してパフォーマンスのために非正規化結果をゼロとして扱います。

値1.4e-45（最小のfloat32サブノーマル）:

16進数表現0x00000001は指数=0で、最下位の仮数ビットのみがセットされています。これは0.000...001 x 2^(-126) = 2^(-149) ≈ 1.401e-45を表します。