コンピュータグラフィックスの変換行列

グラフィックスにおける変換行列

コンピュータグラフィックスは同次座標の 4x4変換行列 を使用して、すべての一般的な変換を統一的に表現します。

同次座標

3D点 (x, y, z) は同次座標で (x, y, z, 1) になります。これにより移動も行列乗算として表現できます。

基本変換

移動 (tx, ty, tz)：

T = | 1  0  0  tx |
    | 0  1  0  ty |
    | 0  0  1  tz |
    | 0  0  0   1 |

スケーリング (sx, sy, sz)：

S = | sx  0   0   0 |
    | 0   sy  0   0 |
    | 0   0   sz  0 |
    | 0   0   0   1 |

Z軸周りの回転 角度a：

Rz = | cos(a)  -sin(a)  0  0 |
     | sin(a)   cos(a)  0  0 |
     |   0        0     1  0 |
     |   0        0     0  1 |

MVPパイプライン

標準的なグラフィックスパイプラインでは、頂点は3つの変換を通過します：

1. モデル行列: ワールド空間にオブジェクトを配置
2. ビュー行列: カメラを配置（カメラの変換の逆）
3. プロジェクション行列: 3Dを2Dにマッピング（透視投影または正投影）

clip_position = Projection * View * Model * vertex

変換の組み合わせ

複数の変換は行列乗算で結合されます。順序は右から左：最も右の行列が最初に適用されます。

M = Translation * Rotation * Scale

これはまずスケーリング、次に回転、最後に移動 — ほとんどのオブジェクト変換で正しい順序です。