行列の乗算 — ルール、手順、例

行列の乗算のステップバイステップ

行列の乗算は加算とは根本的に異なります。C = A * B を計算するには、各要素 C[i,j] はAのi行目とBのj列目のドット積です：

C[i,j] = sum(A[i,k] * B[k,j])  k = 1 から n

次元の要件

A (m x n) と B (p x q) の場合：

• nはpと等しくなければならない（Aの列数はBの行数と一致）
• 結果Cの次元は m x q

例：2x2の乗算

A = | 1  2 |    B = | 5  6 |
    | 3  4 |        | 7  8 |

C[1,1] = 1*5 + 2*7 = 5 + 14 = 19
C[1,2] = 1*6 + 2*8 = 6 + 16 = 22
C[2,1] = 3*5 + 4*7 = 15 + 28 = 43
C[2,2] = 3*6 + 4*8 = 18 + 32 = 50

C = | 19  22 |
    | 43  50 |

主要な性質

• 非可換: A * B は一般に B * A と等しくない
• 結合法則: (A * B) * C = A * (B * C)
• 分配法則: A * (B + C) = A * B + A * C
• 単位元: A * I = I * A = A

順序が重要な理由

2x3行列Aと3x4行列Bを考えます。A * Bは2x4行列を生成しますが、B * AはBの列数が4でAの行数が2のため未定義です。正方行列であっても、順序を変えると通常は異なる結果になります。