対称行列と直交行列

対称行列

行列Aが対称であるとは A = A^T（自身の転置と等しい）を満たすことです。つまりすべてのエントリについて a[i,j] = a[j,i] です。

例: | 1  2  3 |
    | 2  5  6 |
    | 3  6  9 |

対称行列の性質

• すべての固有値が実数（複素値のエントリであっても）
• 固有ベクトルが直交（異なる固有値の場合）
• 対角化可能: A = Q * D * Q^T（Qは直交、Dは対角）
• スペクトル定理がこの分解の存在を保証
• 対称 + 正定値はすべての固有値 > 0

直交行列

正方行列Qが直交であるとは Q^T * Q = Q * Q^T = I を満たすことです。つまり：

• Q^(-1) = Q^T（逆は単に転置）
• det(Q) = +/-1
• 列は正規直交ベクトル
• 行は正規直交ベクトル

例: R(45) = | 0.707  -0.707 |
            | 0.707   0.707 |

直交行列の性質

• 長さを保存: すべてのxに対して ||Qx|| = ||x||
• 角度を保存: QuとQvの間の角度はuとvの間の角度に等しい
• ドット積を保存: (Qu)^T(Qv) = u^T * v
• 群を形成: 直交行列の積は直交

つながり

対称行列は直交行列によって対角化されます。この関係はスペクトル定理と多くの分解アルゴリズム（SVD、固有分解）の基礎です。