固有値と固有ベクトル — 入門

固有値と固有ベクトル

正方行列Aの固有ベクトルとは、Aをvに掛けると単にvを係数 lambda（固有値）でスケーリングするだけの非ゼロベクトル v です：

A * v = lambda * v

固有値の求め方

変形すると：(A - lambda * I) * v = 0。非自明解のためには行列 (A - lambda * I) が特異でなければなりません：

det(A - lambda * I) = 0

これが特性方程式です。その根が固有値です。

2x2の例

A = | 4  1 |
    | 2  3 |

det(A - lambda*I) = det | 4-lambda  1       |
                        | 2         3-lambda |

= (4-lambda)(3-lambda) - 2
= lambda^2 - 7*lambda + 10
= (lambda - 5)(lambda - 2)

固有値: lambda = 5 と lambda = 2

性質

• 固有値の和はトレース（対角要素の和）に等しい
• 固有値の積は行列式に等しい
• 実対称行列は実固有値を持つ
• A^(-1)の固有値は1/lambda
• A^nの固有値はlambda^n

幾何学的解釈

固有ベクトルは変換によって方向が変わらない方向を指します — 大きさ（そして場合によっては向き）のみが変化します。固有値はその方向に沿ったスケーリング係数を示します。