行列の転置 — 行と列の交換

転置演算

行列 A の転置、A^T と書かれるものは、行と列を交換して得られます。Aがm x n行列の場合、A^Tはn x m行列で：

(A^T)[i,j] = A[j,i]

例

A = | 1  2  3 |        A^T = | 1  4 |
    | 4  5  6 |              | 2  5 |
                              | 3  6 |

転置の性質

• (A^T)^T = A — 2回転置すると元に戻る
• (A + B)^T = A^T + B^T — 転置は加算に分配される
• (kA)^T = k(A^T) — スカラーは外に出せる
• (AB)^T = B^T * A^T — 順序が逆になることに注意！
• det(A^T) = det(A) — 転置は行列式を保存する

対称行列

行列が 対称 であるとは A = A^T を満たすことです。対称行列には重要な性質があります：

• すべての固有値が実数
• 固有ベクトルが直交
• 直交行列で対角化可能

例として共分散行列、距離行列、無向グラフの隣接行列があります。

転置と内積

転置はドット積と密接に関連しています：列ベクトル u と v のドット積は u^T * v です。この関係により転置は最適化と最小二乗問題の基礎となっています。