3x3行列の行列式 — 余因子展開法

余因子展開による3x3行列式

3x3行列の場合：

A = | a  b  c |
    | d  e  f |
    | g  h  i |

det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

これは第1行に沿った余因子展開です。各項は要素にその余因子を掛けます — 余因子とは、その要素の行と列を削除して得られる2x2小行列の行列式に交互の符号パターン（+, -, +）を適用したものです。

ステップバイステップの例

A = | 1  2  3 |
    | 4  5  6 |
    | 7  8  9 |

小行列 M11 = | 5  6 | = 45 - 48 = -3
             | 8  9 |

小行列 M12 = | 4  6 | = 36 - 42 = -6
             | 7  9 |

小行列 M13 = | 4  5 | = 32 - 35 = -3
             | 7  8 |

det(A) = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) = -3 + 12 - 9 = 0

行列式は0で、この行列は特異です — 行が線形従属です（第3行 = 2*第2行 - 第1行）。

サリュスの法則（代替法）

3x3行列のみに使える方法として、最初の2列を右にコピーし、3つの下向き対角線に沿った積の和から3つの上向き対角線に沿った積の和を引きます。

計算に関する注意

余因子展開はO(n!)の時間で実行されるため、大きな行列には実用的ではありません。4x4より大きい行列にはLU分解やガウスの消去法が好まれ、計算量がO(n^3)に削減されます。