逆行列 — 行列の逆を求める方法
ガウス-ジョルダン消去法を使用して行列の逆を計算する方法を学びます。逆行列がいつ存在するか、幾何学的に何を意味するかを理解します。
Inverse
詳細な説明
行列の逆を求める
正方行列 A の逆、A^(-1) と書かれるものは、以下を満たします：
A * A^(-1) = A^(-1) * A = I（単位行列）
逆行列はいつ存在するか？
行列が可逆（非特異）であるのは以下の場合に限ります：
- 行列式がゼロでない
- 行（および列）が線形独立
- ランクがサイズと等しい
- ゼロの固有値がない
2x2逆行列の公式
A = | a b | A^(-1) = (1/(ad-bc)) * | d -b |
| c d | | -c a |
ガウス-ジョルダン法（一般的方法）
より大きな行列の場合、Aに単位行列を拡大し、左側が単位行列になるまで行操作を行います。右側がA^(-1)になります：
[A | I] → 行操作 → [I | A^(-1)]
例：2x2逆行列
A = | 4 7 |
| 2 6 |
det(A) = 24 - 14 = 10
A^(-1) = (1/10) * | 6 -7 | = | 0.6 -0.7 |
| -2 4 | | -0.2 0.4 |
検証：A * A^(-1) = I
逆行列の性質
- (A^(-1))^(-1) = A
- (AB)^(-1) = B^(-1) * A^(-1)（順序の反転に注意）
- (A^T)^(-1) = (A^(-1))^T
- det(A^(-1)) = 1/det(A)
ユースケース
行列の逆は連立方程式の解法（x = A^(-1) * b）、コンピュータグラフィックスでの変換の取り消し、統計での共分散行列の計算、暗号化アルゴリズムの実装に使用されます。実際には、LU分解やQR分解など数値的により安定した分解法が好まれ、直接の逆行列計算は避けられることが多いです。