行列のランク — その意味と求め方
行列のランクが何を表すか、行階段形を使ってどのように計算するか、連立方程式の解法や変換の理解になぜ重要かを学びます。
Analysis
詳細な説明
行列のランク
行列のランクは線形独立な行（同等に、線形独立な列）の数です。行列が表す線形変換の像（列空間）の次元を示します。
ランクの求め方
最も一般的な方法は行列を**行階段形（REF）**に簡約し、非ゼロ行の数を数えることです：
A = | 1 2 3 | REF = | 1 2 3 |
| 2 4 6 | | 0 0 0 |
| 3 5 7 | | 0 0 2 |
並べ替え後、非ゼロ行が2つあるので、rank(A) = 2です。
性質
- rank(A) <= min(m, n)（m x n行列の場合）
- rank(A) = rank(A^T)（行ランクは列ランクに等しい）
- rank(AB) <= min(rank(A), rank(B))
- rank(A) + nullity(A) = n（ランク-零化度の定理）
ランクが教えてくれること
m x n行列Aと系Ax = bに対して：
- 列フルランク（rank = n）：系は最大1つの解を持つ
- 行フルランク（rank = m）：すべてのbに対して系は矛盾しない
- フルランク（rank = min(m,n)）：可能な最大ランク
- ランク欠損（rank < min(m,n)）：行列に従属する行/列がある
ランクと行列式
正方n x n行列は：
- rank = n のとき det(A) != 0（可逆）
- rank < n のとき det(A) = 0（特異）
ユースケース
行列のランクはデータサイエンスの次元削減（PCAは共分散行列のランクに依存）で基礎的です。制御理論では可制御性行列のランクがシステムの可制御性を決定します。コンピュータビジョンでは基本行列のランクが2つのカメラビュー間のエピポーラ幾何を制約します。