2x2行列の行列式 — 公式と例
ad-bc公式を使用して2x2行列の行列式を計算します。行列式が行列について何を教えてくれるか、その幾何学的意味を理解します。
Determinant
詳細な説明
2x2行列式の公式
2x2行列の場合：
A = | a b |
| c d |
det(A) = ad - bc
例
A = | 3 7 |
| 1 5 |
det(A) = (3)(5) - (7)(1) = 15 - 7 = 8
幾何学的意味
行列式の絶対値は、行列の列（または行）ベクトルによって形成される平行四辺形の面積に等しくなります。上の例では、列[3,1]と[7,5]が面積8の平行四辺形を形成します。
det(A)が：
- 正: 変換が向きを保存する
- 負: 変換が向きを反転する（反射）
- ゼロ: 変換が空間をより低い次元に縮退させる（特異行列）
性質
- det(AB) = det(A) * det(B)
- det(A^T) = det(A)
- det(kA) = k^2 * det(A) 2x2行列の場合
- det(A^(-1)) = 1 / det(A)
- 2つの行を交換すると行列式の符号が変わる
- ゼロの行がある場合det = 0
可逆性
2x2行列が可逆であるのは行列式がゼロでない場合に限ります。逆行列の公式は行列式を直接使用します：
A^(-1) = (1/det(A)) * | d -b |
| -c a |
ユースケース
2x2行列式は計算幾何学（点が同一直線上にあるかの確認、外積の計算）、コンピュータグラフィックス（カリングのための三角形の向きの確認）、クラメルの公式を使用した2変数連立方程式の解法に頻繁に登場します。余因子展開による大きな行列式計算の構成要素です。