行列を使った連立方程式の解法
行列を使って連立方程式を解く方法を学びます。Ax = b、ガウスの消去法、クラメルの公式を実用的な例で理解します。
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詳細な説明
連立方程式
連立方程式は行列形式で Ax = b と書けます。Aは係数行列、xは未知数のベクトル、bは定数ベクトルです。
例
2x + 3y = 8 | 2 3 | | x | | 8 |
4x + y = 6 => | 4 1 | | y | = | 6 |
方法1：直接逆行列
Aが可逆な場合：x = A^(-1) * b
det(A) = 2 - 12 = -10
A^(-1) = (-1/10) * | 1 -3 | = | -0.1 0.3 |
| -4 2 | | 0.4 -0.2 |
x = | -0.1 0.3 | | 8 | = | -0.8 + 1.8 | = | 1 |
| 0.4 -0.2 | | 6 | | 3.2 - 1.2 | | 2 |
よって x = 1, y = 2。
方法2：ガウスの消去法
拡大行列 [A|b] を作り、REFに簡約して後退代入します。
方法3：クラメルの公式
小さな系の場合、各変数はAの対応する列をbに置き換え、行列式の比を計算して求められます：
x_i = det(A_i) / det(A)
解の種類
- 一意解: rank(A) = rank([A|b]) = n（未知数の数）
- 解なし: rank(A) < rank([A|b])（矛盾する系）
- 無限解: rank(A) = rank([A|b]) < n（不定系）
ユースケース
連立方程式の解法は工学、物理学、経済学、計算機科学の基礎です。回路解析（キルヒホッフの法則）、構造解析（力の平衡）、ネットワークフロー最適化、最小二乗フィッティング、有限要素解析などに応用されます。ほぼすべての数値シミュレーションは大規模な連立方程式の解法を含みます。