行列のスカラー乗算

スカラー乗算

スカラー乗算は行列のすべての要素に単一の数（スカラー）を掛けることです。行列 A とスカラー k が与えられた場合、結果 B = kA は：

B[i,j] = k * A[i,j]

例

k = 3

A = | 1  2  3 |        B = 3A = | 3   6   9 |
    | 4  5  6 |                  | 12  15  18 |

性質

• 行列加算に対する分配法則: k(A + B) = kA + kB
• スカラー加算に対する分配法則: (k + m)A = kA + mA
• スカラー乗算の結合法則: k(mA) = (km)A
• 単位スカラー: 1 * A = A
• 零スカラー: 0 * A = 0（零行列）
• 符号反転: (-1) * A = -A

行列式への影響

n x n行列Aの場合：det(kA) = k^n * det(A)。つまり3x3行列を2でスケーリングすると、行列式は2ではなく2^3 = 8倍になります。

逆行列への影響

Aが可逆な場合：(kA)^(-1) = (1/k) * A^(-1)（kがゼロでない場合）。

幾何学的解釈

スカラー乗算は行列が表す変換をスケーリングします。スカラー2は原点からのすべての距離を2倍にします。スカラー-1は原点を通る反射です。0と1の間のスカラーは空間を縮小します。